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在上学时，我们或许都曾听闻老师讲述这样一个道理：偶数和整数一样多。
果真如此吗？的确，两者皆属无穷尽之数，似是数量相当。然而，反观另一面，偶数仅为整数的一部分，那些遗留下来的奇数又该如何算计？难道整数的数量不应胜过偶数吗？
为易于领会，我们不妨审视一下“两集合一样大”究竟何意。譬如我指着自己的右手，宣称与左手的指头数目相同，这又意味着什么？当然，左右手均各有五指，但更简便的解读，根本无需细数，只需观察它们能否一一对应即可。
实际上，有记载表明，某些远古部族的语言中，没有能表达超过三的数字的词汇，他们正是利用了这种一一对应的策略。以放羊为例，古代牧民每放出一只羊，便摆放一块石头作为记号，待羊群归圈时，再逐一取回石头。如此，便可知羊群是否齐全，而无需逐一计数。
我们还可以用一个例子来说明一一对应比计数更为基础。假设你在一个挤满了听众的大讲堂中发表演说，每个人都占据了一个座位，没有站立者，那么显而易见，听众人数与椅子数量是一致的，即便你不知道它们的确切数量。
因为，所谓的集合一样大，其核心含义在于，两个集合的元素可以依照一定方式一一对应。
那么，我们再回到老师们所讲的整数与偶数数量相同的议题上。如果将所有整数排成一列，并在每个整数下方写出其两倍，那么便可明了地看到下方的数列包含了全部的偶数。两行数字一一对应，换言之，整数和偶数的数量是相同的。
然而，偶数似乎只是整数的子集这一事实依旧令人困扰。实际上，如果某种元素匹配尝试未能成功，这并不意味着什么。只要能找到一种一一对应的方式，便能证明两个集合的元素数量相等。
我们不妨再提出一个问题：所有的分数能否排成序列？此问题似乎颇具难度，因为分数的数量过于庞大，而且瞬间难以决定哪个应该排第一，又如何确保所有分数皆包含在内？
但一个巧妙的方法能够将所有分数排成序列。19世纪末，格奥尔格-康托尔首次实现了这一壮举。
首先，将所有分数置于方阵之中，确保每个分数都在其中。假设寻找117/243，它就在第117行，第243列。通过从左上角开始，沿着对角线来回移动，跳过像2/2这样的已选分数，我们便能得到所有分数的列表。这意味着，我们在整数和分数之间建立了一一对应，尽管我们原本可能认为分数的数量更多！
然而，更有趣的还在后头。
众所周知，并非所有的实数——即并非数轴上的所有数都是分数。像根号2和π这样的数被称为无理数，这并非因为它们失去了理性，而是因为分数是整数的比（即有理），所以被称为有理数。这意味着，剩下的数是那些不成比例的数，即无理数，它们通常用无限不循环的小数表示。
那么，我们能否在整数和所有小数的集合之间建立一一对应呢？就像下图所示，其中包含了有理数和无理数。
换句话说，所有的小数能排成一列吗？
康托尔证明了这是不可能的。不是不知如何操作，而是根本无法实现。也就是说，小数的数量代表了一种超越整数无限的更大的无限。因此，尽管我们只熟悉有限的几个无理数，如根号2和π，但无理数的无限实际上要大于分数的无限。
有人曾比喻，有理数（分数）如同夜空中的星星，而无理数则象征着无尽的黑暗！
康托尔进一步证明，对于任何一种无限集合，只要用该集合的所有子集构建一个新的集合，就代表了比原集合更大的一种无限。这意味着，只要有了一种无限，就总能创造出更大的无限，只要考虑第一个集合的所有子集的集合，并持续进行这一过程！因此，大小各异的无限共有无限种之多！
这些观点可能令你感到不适，一时难以接受。实际上，除了你之外，康托尔时代的一些最杰出的数学家也对此表示反对，他们试图将这些无限转变成无关紧要的事物，希望数学能不依赖它们而存在。康托尔甚至因此遭受了人身攻击，境遇之恶劣导致他患上了严重的抑郁症，并在余生反复进出精神病院。
然而，他的理论最终获得了胜利。如今它们被视为基础性的伟大思想，所有从事研究的数学家都接受了这些观点，各大学府的数学课程也教授它们！也许在未来，它们将成为常识！
但是故事还未结束。刚刚我们已经指出，小数（即实数）的集合是一个比整数集合更大的无限。康托尔好奇的是，在这两者的无限之间是否还存在其他大小不同的无限。他认为不存在，但无法证明这一点。
康托尔的这一猜想后来被称作“连续统假设”。1900年，数学家大卫-希尔伯特将其列为数学中最重要的未解决问题之一。1940年，库尔特-哥德尔证明了“连续性假设不可能被证明”是不正确的。而到了1963年，保罗-库恩证明了连续性假设是不可证明的。
这些发现共同表明，数学中存在一些无法解答的问题，这是一个令人震惊的事实。数学被认为是人类理性的巅峰，但现在我们意识到，即使数学也有其局限性。然而，数学中仍有许多奇妙的真理值得我们去探索和思考！
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